Question

17．已知函数f（x）=x|x-a|+b，x∈R
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若a＞0，函数 f（x）在区间[2，3]上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论a=0，b=0时，a≠0或b≠0时，即可判断奇偶性；
（2）写出分段函数式，求得f（x）的减区间，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，可得a的范围．

解答 解：（1）当a=0，b=0时，f（x）=x|x|为奇函数；
当a≠0或b≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+b，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax+b，x＜a}\end{array}\right.$，
当x≤a时，f（x）的递减区间为[$\frac{a}{2}$，a]，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，
解得3≤a≤4．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．