Question

10．已知等差数列{a_n}满足a₃=7，a₅+a₇=26，其前n项和为S_n．
（1）求{a_n}的通项公式及S_n；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{{S_n}-n}}（n∈{N^*}）$，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求$\lim_{n→∞}{T_n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₅+a₇=26，得a₆=13，
又a₆-a₃=3d=6，解得d=2．
所以a_n=a₃+（n-3）d=7+2（n-3）=2n+1．
所以${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}×n=\frac{3+2n+1}{2}×n={n^2}+2n$．
（2）由${b_n}=\frac{1}{{{S_n}-n}}$，得${b_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
设{b_n}的前n项和为T_n，
则${T_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}$，
$\lim_{n→∞}{T_n}=1$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．