Question

17．已知双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1的一个焦点是抛物线N：y²=2px（p＞0）的焦点F．
（1）求抛物线N的标准方程；
（2）设双曲线M的左右顶点为C，D，过F且与x轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出双曲线的右焦点为（4，0），再根据抛物线的定义求出p的值，
（2）根据（1）求出C，D的坐标，再根据x=4与抛物线求出A，B的坐标，根据向量的数量积公式计算即可．

解答 解：（1）∵双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1中，a=3，c²=a²+b²=16，
∴c=4，
∴双曲线的右焦点为（4，0），
由$\frac{p}{2}$=4，解得p=8，
∴抛物线的方程为y²=16x，
（2）由（1）可得C（-3，0），D（3，0），
直线x=4与抛物线y²=16x交于点A（4，8），B（4，-8），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-7，-8），$\overrightarrow{BD}$=（-1，8），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-7×（-1）-8×8=-57．

点评 本题考查了抛物线和双曲线的性质和定义，以及向量的数量积公式，属于基础题．