Question

15．已知$sin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\;，\;\;θ∈（{-\frac{π}{2}\;，\;\;0}）$，则sinθcosθ=-$\frac{3}{8}$，cosθ-sinθ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 推导出sinθ+cosθ=$\frac{1}{2}$，从而（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，由此能求出sinθcosθ，从而cosθ-sinθ=$\sqrt{（cosθ-sinθ）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinθcosθ}$，由此能求出结果．

解答 解：∵$sin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\;，\;\;θ∈（{-\frac{π}{2}\;，\;\;0}）$，
∴sin$θcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴sinθ+cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，
解得sinθcosθ=-$\frac{3}{8}$，
∴cosθ-sinθ=$\sqrt{（cosθ-sinθ）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=$\sqrt{1+2×\frac{3}{8}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：-$\frac{3}{8}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查三角函数求值，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．