题目内容
15．总体（x，y）的一组样本数据为：| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 3 | 3 | 5 | 4 |
（2）当x=6时，估计y的值．
附：回归直线方程$\hat y$=$\hat b$x+$\hat a$，其中$\hat a$=$\overline{y}$-$\hat b$$\overline{x}$，$\hat b$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{{\sum_{y=1}^{n}x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．
分析 （1）根据所给的数据作出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法作出线性回归方程的系数，进而写出线性回归方程．
（2）当x=6时，代入回归方程，即可估计y的值．
解答 解：（1）∵$\overline{x}=\frac{5}{2}，\overline{y}=\frac{15}{4}$ …2分 $\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}=40，\sum_{i=1}^4{x_i^2}=30$；
∴$\hat b=\frac{{40-4×\frac{5}{2}×\frac{15}{4}}}{{30-4×\frac{25}{4}}}=\frac{1}{2}$ …6分
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=\frac{15}{4}-\frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$，…8分
∴回归直线方程为$\hat y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$．…10分
（2）当x=6 时，$\hat y=\frac{11}{2}$．…12分
点评 本题考查回归方程的求法，利用最小二乘法求回归方程的系数是解答此类问题的关键．
练习册系列答案
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如图，菱形ABCD的棱长为2，∠BAD=60°，CP⊥底面ABCD，E为边AD的中点．
3．如表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）计算相关指数R2的值，并判断线性模型拟合的效果．
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．
| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（2）计算相关指数R2的值，并判断线性模型拟合的效果．
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．
10．函数f（x）=ln（x+1）+e-x的单调递增区间为（ ）
| A． | （-1，+∞） | B． | （0，+∞） | C． | （e，+∞） | D． | （$\frac{1}{e}$，+∞） |
20．某奶茶店为了解白天平均气温与某种饮料销量之间的关系进行分析研究，记录了2月21日至2月25日
的白天平均气温x（℃）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如表数据：
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ） 试根据（1）求出的线性回归方程，预测平均气温约为20℃时该奶茶店的这种饮料销量．
（参考：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$•$\overline{x}$；9×23+11×26+12×30+10×25+8×21=1271，92+112+122+102+82=510）
的白天平均气温x（℃）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如表数据：
| 平均气温x（℃） | 9 | 11 | 12 | 10 | 8 |
| 销量y（杯） | 23 | 26 | 30 | 25 | 21 |
（Ⅱ） 试根据（1）求出的线性回归方程，预测平均气温约为20℃时该奶茶店的这种饮料销量．
（参考：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$•$\overline{x}$；9×23+11×26+12×30+10×25+8×21=1271，92+112+122+102+82=510）
7．
调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：
（Ⅰ）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；
（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．
附：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i-1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i-1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：| 推销员 | A | B | C | D | E |
| 工作年限x（万元） | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
| 年推销金额y（万元） | 3 | 3.5 | 4 | 6.5 | 8 |
（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．
附：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i-1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i-1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．