Question

6．如图，菱形ABCD的棱长为2，∠BAD=60°，CP⊥底面ABCD，E为边AD的中点．
（1）求证：平面PBE⊥平面BCP；
（2）当直线AP与底面ABCD所成的角为30°时，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答 解：（1）连接BD，因为四边形ABCD 为棱长为2的菱形，∠BAD=60°，
所以△ABD 为等边三角形，又E 为边AD 的中点，所以BE⊥AD，
而AD∥BC，故 BE⊥BC；            …2分
因为 CP⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以BE⊥PC，BC∩CP=C，故 BE⊥平面BCP，…4分
又BC?平面PBE，所以平面PBE⊥平面BCP．…5分
（2）连接AC，因为CP⊥平面ABCD，所以∠PAC 就是直线AP 与底面ABCD
所成的角，故∠PAC=30°，在 Rt△ACP中，
tan∠PAC=tan30°=$\frac{CP}{AC}=\frac{CP}{2\sqrt{3}}$，可得CP=2，
建立空间直角坐标系C-xyz 如图，
此时∠BCy=30°，…6分
可得 C（0，0，0），P（0，0，2），B（1，$\sqrt{3}$，0），
A（3，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），
$\overrightarrow{BP}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），…8分
，设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z） 为平面PBC 的一个法向量，
则有$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CP}$=0，
即  $\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，0），
同理可得平面PAB的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，2$\sqrt{3}$，3），…10分
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{\sqrt{12}•\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角A-PB-C是钝二面角，
所以二面角A-PB-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．…12分

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．