Question

5．已知函数f（x）=a（x-1）²+lnx+1．
（I）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，分离参数，问题转化为$2a≤\frac{1}{{-{x^2}+x}}$在[2，4]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅱ）问题等价于a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）_max≤0即可，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=2a（x-1）+\frac{1}{x}$，
∵函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，
∴$f'（x）=2a（x-1）+\frac{1}{x}≤0$在区间[2，4]上恒成立，
即$2a≤\frac{1}{{-{x^2}+x}}$在[2，4]上恒成立，…（3分）
只需2a不大于$\frac{1}{{-{x^2}+x}}$在[2，4]上的最小值即可．
当2≤x≤4时，$\frac{1}{{-{x^2}+x}}∈[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{12}}]$，…（5分）
∴$2a≤-\frac{1}{2}$，即$a≤-\frac{1}{4}$，故实数a的取值范围是$（{-∞，-\frac{1}{4}}]$．…（6分）
（Ⅱ）因f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y-x≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域内，
即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，
设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），
只需g（x）_max≤0即可．…（9分）
由$g'（x）=2a（x-1）+\frac{1}{x}-1=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}$，
（i）当a=0时，$g'（x）=\frac{1-x}{x}$，
当x＞1时，g'（x）＜0，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立．
（ii）当a＞0时，由$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}=\frac{{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}}{x}$，
令g'（x）=0，得x₁=1或${x_2}=\frac{1}{2a}$，
①若$\frac{1}{2a}≤1$，即$a≥\frac{1}{2}$时，在区间[1，+∞）上，g'（x）≥0，
函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
函数g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
②若$\frac{1}{2a}＜1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，
函数g（x）在$[1，\frac{1}{2a}）$上单调递减，在区间$[\frac{1}{2a}，+∞）$上单调递增，
同样g（x）在[1，+∞）无最大值，不满足条件．
（iii）当a＜0时，由$g'（x）=\frac{{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}}{x}$，
因x∈[1，+∞），故g'（x）≤0，
则函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．