Question

3．如表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）计算相关指数R²的值，并判断线性模型拟合的效果．
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先做出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果；
（Ⅱ）直接根据相关指数公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵由题意知$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=0.7，
∴b=$\frac{1.5×1+0.5×0.5+0.5×0.5+1.5×1}{1．{5}^{2}+0．{5}^{2}+0．{5}^{2}+1．{5}^{2}}$=0.7，
a=3.5-4.5×0.7=0.35，
∴线性回归方程是y=0.7x+0.35，
（Ⅱ）相关指数R²=1-$\frac{（2.5-2.45）^{2}+（3-3.15）^{2}+（4-3.85）^{2}+（4.5-4.55）^{2}}{（2.5-0.7）^{2}+（3-0.7）^{2}+（4-0.7）^{2}+（4.5-0.7）^{2}}$≈1-0.0013=0.9987，
∴解释变量对预报变量的贡献率为99.87%．

点评 本题重点考查了线性回归直线方程及其求解，相关指数的计算等知识，属于中档题．考查运算求解能力．