Question

4．已知椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与y轴的交点为A（点A不在椭圆外），且与椭圆交于两个不同的点P，Q，PQ的中垂线恰好经过椭圆的下端点B，且与线段PQ交于点C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴长为2，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；
（2）求出PQ的中点坐标为（-$\frac{3}{2}$k，$\frac{1}{2}$），表示出△ABC面积，利用直线l：y=kx+m（k≠0）与y轴的交点为A（点A不在椭圆外），求出0≤k²≤$\frac{1}{3}$，即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴长为2，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1，
∴a=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线l：y=kx+m（k≠0）代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，整理可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴PQ的中点坐标为（-$\frac{3km}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$），
∵PQ的中垂线恰好经过椭圆的下端点B，
∴-$\frac{1}{k}$=$\frac{\frac{m}{1+3{k}^{2}}+1}{-\frac{3km}{1+3{k}^{2}}}$，
∴m=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$k²，
∴PQ的中点坐标为（-$\frac{3}{2}$k，$\frac{1}{2}$），
∵l：y=kx+m（k≠0）与y轴的交点为A（点A不在椭圆外），
∴-1≤$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$k²≤1，
∴0≤k²≤$\frac{1}{3}$，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$（m+1）$•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$（1+k²）≤$\frac{1}{2}$，当且仅当k²=$\frac{1}{3}$，△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．