Question

5．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；    
（2）求不等式${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}$（a-x）的解集；
（3）设方程${log_{2a}}x={（\frac{1}{2a}）^x}\;，\;{log_{\frac{1}{2a}}}x={（\frac{1}{2a}）^x}$的根分别为x₁，x₂，求x₁x₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对数函数的单调性可得a＞1，可得最值，即有log_a2a-log_aa=1，解得a=2；
（2）由题意运用对数函数的单调性可得0＜x-1＜2-x，解不等式可得解集；
（3）由y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$和y=（$\frac{1}{4}$）^x的图象关于直线y=x对称，可得x₂=$\frac{1}{2}$，再由g（x）=log₄x-（$\frac{1}{4}$）^x，求得零点的范围，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，可得a＞1，
f（x）=log_ax在区间[a，2a]上递增，可得
log_a2a-log_aa=1，解得a=2；
（2）不等式${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}$（a-x），
即为${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}$（2-x），
即0＜x-1＜2-x，解得1＜x＜$\frac{3}{2}$，
则不等式的解集为（1，$\frac{3}{2}$）；
（3）由题意可得方程log₄x=（$\frac{1}{4}$）^x，$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$=（$\frac{1}{4}$）^x的根分别为x₁，x₂，
由y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$和y=（$\frac{1}{4}$）^x的图象关于直线y=x对称，
可得x₂=$\frac{1}{2}$，
令g（x）=log₄x-（$\frac{1}{4}$）^x，则g（x）在（0，+∞）递增，
由g（1）=log₄1-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$＜0，g（2）=log₄2-（$\frac{1}{4}$）²=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{16}$＞0，
可得g（x）在（1，2）有且只有一个零点，
则1＜x₁＜2，
故x₁x₂的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查函数的单调性的运用：求最值，考查对数不等式的解法和函数零点的问题的解法，考查运算能力，属于中档题．