Question

17．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）若b=-3求圆C的方程；
（Ⅱ）满足条件的b的取值范围；
（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x²+Dx+F=0，这与x²+2x-3=0是同一个方程，
故D=2，F=-3．令x=0得，y²+Ey+F=0，此方程有一个根为-3，代入得出E=2，由此求得圆C的一般方程．
（II）令x=0得抛物线与y轴交点（0，b），令f（x）=x²+2x+b，由题意b≠0，且△=4-4b＞0，解得实数b的
取值范围．
（III）把圆C的方程改写为x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-y=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，求出定点的坐标．

解答 （I）解：设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由题意得f（x）=x²+2x-3（x∈R）的图象与两坐标轴的三个交点，即圆x²+y²+Dx+Ey+F=0和坐标轴的交点，
令y=0得，x²+Dx+F=0，由题意可得，这与x²+2x-3=0是同一个方程，故D=2，F=-3．
令x=0得，y²+Ey+F=0，由题意可得，此方程有一个根为-3，代入此方程得出E=2，
所以圆C的一般方程为x²+y²+2x+2y-3=0．
（II）解：令x=0得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x²+2x+b，由题意b≠0，
且△=4-4b＞0，解得b＜1，且b≠0．
即实数b的取值范围 {b|b＜1，且b≠0 }．
（III）证明：把圆C的方程改写为x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-y=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，故圆C 过定点（0，1）和（-2，1）．

点评 本题主要考查求圆的方程，本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．