Question

13．已知定义在[0，+∞）的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=-x²+2x．设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为${a_n}，n∈{N^*}$，则{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^n}}]$．

Answer 1

分析 通过函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）可知函数向右平移2个单位时最大值变为原来的$\frac{1}{3}$，进而可知数列{a_n}是首项为1、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=$\frac{1}{3}$f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的$\frac{1}{3}$，
又∵当x∈[0，2）时，f（x）=-x²+2x，
∴a₁=f（1）=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴S_n=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^n}}]$，
故答案为：$\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^n}}]$．

点评 本题考查数列的前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．