Question

如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若∠BDC=45°，求直线BM与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．先证明出四边形OPQF是平行四边形，进而证明出PQ∥OF，最后根据线面平行的判定定理证明出PQ∥平面BCD．
（2）先证明∠MBK为所求角，分别求得BM，MK，求得cos∠MBK的值．

解答： （1）证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．
∵AQ=3QC，
∴QF∥AD，且QF=

1

4

AD，
∵O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，
∴OP∥DM，且OP=

1

2

DM，
又点M是AD的中点，
∴OP∥AD，且OP=

1

4

AD
∴OP∥FQ，且OP=FQ
∴四边形OPQF是平行四边形，
∴PQ∥OF，
又∵PQ?平面BCD，OF?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD．
（2）解：过M做MK⊥AC，交AC于点K，连结BK，
∵BC⊥CD，BC⊥AD，CD∩AD=D，
∴BC⊥平面ADC，
又∵BC?平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC，
∵平面ACD∩平面ABC=AC，MK⊥AC，
∴MK⊥平面ABC，
∴∠MBK就是所求，
在Rt△BDM中，BD=2

2

，MD=1
∴BM=3，
∵在Rt△AMC中，AM=1，AC=2

2

，且AC•MK=AM•CD，
∴MK=

2

2

，
∴在Rt△MKB中，cos∠MBK=

BK

BM

=

BM2-MK2

BM

=

34

6

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定，直线与平面所成的角．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．