Question

函数f（x）=x²+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x-y-1=0，设数列{

1

f(n)

}的前n项和S_n，则S₂₀₁₁为（　　）

• A、

  2008

  2009

• B、

  2009

  2010

• C、

  2010

  2011

• D、

  2011

  2012

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：f′（x）=2x+b，由已知条件得b+2=3，f（x）=x²+x，所以 

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出S₂₀₁₁．

解答： 解：∵f（x）=x²+bx，∴f′（x）=2x+b，
∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b，
∵切线与直线3x-y+2=0平行，∴b+2=3，
∴b=1，f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1）
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₁=

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(2011)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故选：D．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．