Question

三条直线两两异面，则称为一组“Γ型线”，任选长方体12条面对角线中3条，设“Γ型线”的组数为m，则(

x

-

2

x

)

m

4

的展开式中的常数项是（　　）

• A、-3
• B、-60
• C、60
• D、不存在

Answer 1

考点：计数原理的应用,二项式系数的性质

专题：

分析：由正方体的几何结构，结合异面直线的定义，按上下底面，前后面，左右面分类讨论，求得m．然后利用二项式定理求出则(

x

-

2

x

)

m

4

的展开式，分析可得其常数项，即可得答案．

解答： 解：如图：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
上下这组平行平面中，AC、B′D′异面，与其他面的A′D、B′C、DC′、AB′，
可以形成两两异面的直线即“Γ型线”有4组，即AC、B′D′、A′D，AC、B′D′、B′C，AC、B′D′、DC′，AC、B′D′、AB′，
同理：DB与A′C′异面可以确定的“Γ型线”也有4组，
又正方体有三组平行平面，故共有8×3=24组“Γ型线”；即m=24．
则(

x

-

2

x

)

m

4

=(

x

-

2

x

)6，
其展开式为T_r+1=C₆^r（

x

）^6-r×（-

2

x

）^r=（-2）^r×C₆^r×x3-

3r

2

，
分析可得，其常数项为T₃=（-2）²×C₆²=60，
故选：C．

点评：本题考查简单的计数原理，难点在于合理作图与正确分类讨论，属于难题．