Question

已知函数f（x）=

ax2

2x+b

的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y=2．
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在平行于直线y=

1

2

x且与曲线y=f（x）没有公共点的直线？证明你的结论；
（Ⅲ）设数列{a_n}满足a₁=λ（λ≠l），a_n+1=f（a_n），若{a_n}是单调数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,数列的应用,数学归纳法

专题：综合题,导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由题意可得

f′(2)=0 f(2)=2

，于是有

8a+4ab (4+b)2 =0 4a 4+b =2

，解出可得a，b，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；
（Ⅱ）与y=

1

2

x平行的直线设为y=

1

2

x+m（m≠0），联立

y=f(x) y= 1 2 x+m

得

(1-2m)x+2m

2(x-1)

=0，分m≠

1

2

，m=

1

2

两种情况讨论可得方程解的情况，由此可得结论；
（Ⅲ）运用数学归纳法可证明：当λ＞2时，a_n＞2．通过作差可得a_n+1＜a_n，此时数列单调；然后分1＜λ＜2，0＜λ＜1，λ＜0，λ=0，λ=2进行讨论可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）依题意，f′（x）=

2ax(x+b)

(2x+b)2

，
由

f′(2)=0 f(2)=2

，可得

8a+4ab (4+b)2 =0 4a 4+b =2

，解得

a=1 b=-2

，
∴f（x）=

x2

2x-2

，f′（x）=

2x2-4x

(2x-2)2

．
当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜2且x≠1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，1），（1，2）．
 （Ⅱ）与y=

1

2

x平行的直线设为y=

1

2

x+m（m≠0），
由

y=f(x) y= 1 2 x+m

得f（x）=

1

2

x+m，即

(1-2m)x+2m

2(x-1)

=0，①
当m≠

1

2

时，方程①有唯一解x=

2m

2m-1

，此时曲线与直线有公共点；
当m=

1

2

时，方程①无解，此时直线与曲线没有公共点．
故存在直线y=

1

2

x+

1

2

与曲线y=f（x）没有公共点．
 （Ⅲ）an+1=

an2

2an-2

．
下面先用数学归纳法证明：当λ＞2时，a_n＞2．
①当n=1时，a₁=λ＞2，不等式成立．
②假设当n=k时，不等式成立，即a_k＞2，
则n=k+1时，a_k+1-2=

ak2

2ak-2

-2=

(ak-2)2

2ak-2

＞0，于是a_k+1＞2，
即当n=k+1时，不等式成立．
根据①②可知，对于n∈N^*，有a_n＞2．
于是an+1-an=

an2

2an-2

-a_n=

an(2-an)

2an-2

＜0，∴a_n+1＜a_n，即{a_n}是单调递减数列．
当1＜λ＜2时，a₁=λ，由（Ⅰ）知，a₂=f（a₁）=f（λ）＞f（2）=2，
又a₃-a₂=

a22

2a2-2

-a₂=

a2(2-a2)

2a2-2

＜0，即a₃＜a₂，故{a_n}不是单调数列．
当0＜λ＜1时，a₁=λ＞0，a2=

λ2

2λ-2

＜0，
∴a3-a2=

a2(2-a2)

2a2-2

＞0，于是a₃＞a₂，故{a_n}不是单调数列．
当λ＜0时，a₁=λ＜0，又an+1=

an2

2an-2

，由数学归纳法可证a_n＜0，
∴an+1-an=

an(2-an)

2an-2

＞0，∴a_n+1＞a_n，故{a_n}是单调递增数列．
当λ=0时，a_n=0，故{a_n}不是单调数列．
当λ=2时，a_n=2，故{a_n}不是单调数列．
综上，λ的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评：本小题主要考查函数与导数、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、分类与整合思想等．