Question

已知等比数列{a_n}为正项递增数列，且a₂a₈=4，a₄+a₆=

20

3

，数列b_n=log₂

an

2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）T_n=b₁+b₂+b_2²+…+b_2^n-1，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

a1q4=2 a1q3+a1q5= 20 3

，由{a_n}为增数列，解得q=3，a₁=

2

81

，由此能求出b_n=log₃

an

2

=n-5．
（Ⅱ） 利用分组求和法能求出T_n=b₁+b₂+b_2²+…+b_2^n-1的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}是正项等比数列，a₂a₈=4，
∴a52=4，解得a₅=2，
又∵a₄+a₆=

20

3

，∴

a1q4=2 a1q3+a1q5= 20 3

，
两式相除得：

q

1+q2

=

3

10

．…（2分）
解得q=3或者q=

1

3

，
∵{a_n}为增数列，∴q=3，a₁=

2

81

．…（4分）
∴a_n=a₁q^n-1=

2

81

•3^n-1=2•3^n-5．
∴b_n=log₃

an

2

=n-5．…（6分）
（Ⅱ） T_n=（1-5）+（2-5）+（2²-5）+…+（2^n-1-5）
=1+2+2²+…+2^n-1-5n
=

1-2n

1-2

-5n=2ⁿ-5n-1．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．