Question

已知数列a_n的前n项和S_n=

3n2-n

2

，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n满足：b_n=

1

3

（a_n+2）•2ⁿ，n∈N₊，试求{b_n}的前n项和公式T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用“a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=

3n2-n

2

，n∈N₊．
∴a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n-2，
又n=1时，a₁=1也适合，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2．
（2）∵b_n=

1

3

（a_n+2）•2ⁿ=n•2ⁿ．
∴Tn=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2Tn=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴-Tn=2+2²+2³+2⁴+…2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1，
整理得：T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了利用“a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．