Question

给定两个命题：p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先确定命题P，Q为真时，a的范围，再利用P为真命题，Q为假命题，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：对于命题p：当a=0，不等式ax²+ax+1＞0变为1＞0，对任意实数x恒成立；
当a≠0时，对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，需

a＞0 △=a2-4a＜0

解得0＜a＜4；
∴p为真命题时，0≤a＜4；
对于命题q：方程x²-x+a=0有实数根；
∴△=1-4a≥0
解得a≤

1

4

；
∵“p∨q”为真，且“p∧q”为假，
∴p，q中有一个是真命题一个是假命题；
当p真q假时，

0≤a＜4 a＞ 1 4

即

1

4

＜a＜4；
当p假q真时，

a＜0或a≥4 a≤ 1 4

即0＜a≤

1

4

；
总之数a的取值范围0＜a＜4．

点评：本题考查命题真假的判断，关键是由“p∨q”为真，且“p∧q”为假，判定出p，q中有一个是真命题一个是假命题；属于基础题．