Question

平面内与两定点A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于常数m（m＜0）的点的轨迹，连同A₁，A₂两点所成的曲线为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状；
（Ⅱ）设a=

3

，m=-

2

3

，对应的曲线是C₁，已知动直线l与椭圆C₁交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两不同点，且S_△OPQ=

6

2

，其中O为坐标原点，探究x₁²+x₂²是否为定值，写出解答过程．

Answer 1

考点：轨迹方程,球的体积和表面积

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出动点M的坐标，利用斜率乘积求出曲线轨迹方程，然后讨论m的值，判断曲线是圆、椭圆或双曲线时m的值的情况；
（Ⅱ）根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值

解答： 解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），
当x≠±a时，由条件可得

y

x-a

•

y

x+a

=

y2

x2-a2

=m
即mx²-y²=mav（x≠±a），
又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²．
故依题意，曲线C的方程为mx²-y²=ma²．
当m＜-1时，曲线C的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C 的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

ma2

=1，C是焦点在x轴上的双曲线；  …（6分）
（Ⅱ）解：a=

3

，m=-

2

3

，对应的曲线是C₁：

x2

3

+

y2

2

=1．
当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵P（x₁，y₁）在椭圆上，
因此

x12

3

+

y12

2

=1①
又因为S△OPQ=

6

2

所以|x₁||y₁|=

6

2

②
由①②得|x₁|=

6

2

，|y₁|=1．此时x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b
将其代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2+3k²）x²+6kbx+3（b²-2）=0，
其中△=36k²b²-12（2+3k²）（b²-2）=24（3k²+2-b²）＞0即3k²+2＞b²（*）
又x1+x2=-

6kb

2+3k2

，x1x2=

3(b2-2)

2+3k2

所以|PQ|=

1+k2

△

2+3k2

=

1+k2

2 6 3k2+2-b2

2+3k2

因为点O到直线l的距离为d=

|b|

1+k2

，
所以S_△OPQ=

1

2

1+k2

2 6 3k2+2-b2

2+3k2

|b|

1+k2

=

6 |b| 3k2+2-b2

2+3k2

又S△OPQ=

6

2

整理得3k²+2=2b²且符合（*）式，
此时

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=(-

6kb

2+3k2

)2-2×

3(b2-2)

2+3k2

=3
综上所述

x

2 1

+

x

2 2

=3结论成立                                      …（13分）

点评：此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．