Question

6．如图：已知直角三角形ABC，∠B为直角，∠C的平分线交AB于D，以AD为直径作圆O，交AC于点E，交CD于F．
（1）求证：C、B、D、E四点共圆：
（2）若AE=$2\sqrt{2}$，BD=1，求F到线段AC的距离．

Answer 1

分析 （1）连接DE，则∠DEC=90°，证明C，E，D，B四点共圆即可；（2）若BD=1，AE=2$\sqrt{2}$，求出CF，AF，即可求点F到线段AC的距离．

解答 证明：（1）连接DE，则∠DEC=90°，
∵∠B=90°，
∴C，E，D，B四点共圆；
解：（2）若AE=$2\sqrt{2}$，BD=1，
则DE=1，AD=3，
由AE•AC=AD•AB，
得：AC=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，
由CE•CA=CD•CF，
得：CF=2$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{{AC}^{2}{-CF}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
设F到线段AC的距离是h，
由AC•h=AF•CF，
∴h=$\frac{AF•CF}{AC}$=$\frac{\sqrt{6}•2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$=2．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段和切割线定理，证明乘积式的问题，属于中档题．