Question

19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁、F₂，$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}B}$（λ＞0），其中A、B为双曲线右支上的两点．若在△AF₁B中，∠F₁AB=90°，|F₁B|=$\sqrt{2}$|AB|，则双曲线C的离心率的平方的值为（　　）

• A． 5+2$\sqrt{2}$
• B． 5-2$\sqrt{2}$
• C． 6-$\sqrt{2}$
• D． 6+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设|AF₁|=|AB|=m，计算出|AF₂|=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e²的值．

解答 解：由题意，设|AF₁|=|AB|=m，
则|BF₁|=$\sqrt{2}$m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=$\sqrt{2}$m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+$\sqrt{2}$m-2a=m，
∴4a=$\sqrt{2}$m，
∴|AF₂|=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m，
∵△AF₁F₂为Rt三角形，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（$\frac{5}{2}$-$\sqrt{2}$）m²，
∵4a=$\sqrt{2}$m，
∴4c²=（$\frac{5}{2}$-$\sqrt{2}$）×8a²，
∴e²=5-2$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|AF₂|，从而利用勾股定理求解．