Question

1．已知正项数列{a_n}中，a₁=1，na${\;}_{n+1}^{2}$-a_na_n+1=（n+1）a${\;}_{n}^{2}$，则a_n=（　　）

• A． n
• B． 2n
• C． n+2
• D． 2n+2

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，求得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，然后利用累积法得答案．

解答 解：由na${\;}_{n+1}^{2}$-a_na_n+1=（n+1）a${\;}_{n}^{2}$，得$n•（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}-\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n+1$，
∴$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}+1）（n\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}-n-1）=0$，
∵a_n＞0，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$．
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}•…•\frac{2}{1}•1$=n．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．