已知抛物线C:y2=2px的焦点F和椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦点重合.直线l过点F交抛物线于A.B两点．(1)求抛物线C的过程,(2)若直线l交y轴于点M.且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$.$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦点重合，直线l过点F交抛物线于A、B两点．
（1）求抛物线C的过程；
（2）若直线l交y轴于点M，且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，对任意的直线l，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值；否则，说明理由．

分析（1）由椭圆由焦点坐标F（1，0），即$\frac{p}{2}$=1，即可求得抛物线C的过程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，根据韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1，根据向量的坐标表示$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，即可求得m=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，代入即可求得m+n=-1．

解答解：（1）椭圆的$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1右焦点F（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，p=2，
∴抛物线C的方程y²=4x；
（2）由已知可得：直线l的斜率一定存在，
∴设l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），
设直线l与抛物线交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，则k²x²-2（k²+2）+k²=0，
△=4（k²+2）²-4k⁴=16（k²+1）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1，
$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，
∴（x₁，y₁+k）=m（1-x₁，-y₁），
x₁=m（1-x₁）
即m=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，同理n=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，
m+n=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}•{x}_{2}}$=-1，
故对任意的直线l：m+n的值-1．