Question

设函数f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）化简函数的解析式，画出函数f（x）的图象，如图求得点M（

1

3

，2），而点C（3，2），数形结合求得f（x）＞2的解集．
（2）由题意可得，函数f（x）的图象有一部分在直线y=-3a（x+

1

2

）上，或在直线y=-3a（x+

1

2

）的下方．根据直线y=-3a（x+

1

2

）经过定点N（-

1

2

，0），求得NB的斜率和NC的斜率，NC的斜率较小为

2

7

，令-3a≥

2

7

，求得a的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|=

5-3x 2 ，x＜1 1+x 2 ，1≤x＜3 3x-5 2 ，x≥3

，画出函数f（x）的图象，如图
当x＜1时，令f（x）=

5-3x

2

=2，求得x=

1

3

，可得点M（

1

3

，2），而点C（3，2），
∴f（x）＞2的解集为{x|x＜

1

3

，或x＞3}．
（2）由题意可得，不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）有解，
即函数f（x）的图象有一部分在直线y=-3a（x+

1

2

）上，或在直线y=-3a（x+

1

2

）的下方，
而直线y=-3a（x+

1

2

）经过定点N（-

1

2

，0），NB的斜率为

1-0

1+ 1 2

=

2

3

，NC的斜率为

2-1

3+ 1 2

=

2

7

，

2

3

＞

2

7

．
故当y=-3a（x+

1

2

）的斜率-3a满足-3a≥

2

7

时，不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）有解，
由此求得a≤-

2

21

．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了等价转化、数形结合和分类讨论的数学思想，属于中档题．