Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，BD⊥PC，AB=BC=2，AD=CD=

7

，PA=

3

，PC=

15

，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（1）求证：PA⊥面ABCD；
（2）若G满足

PG

GC

=

3

2

，求证：PC⊥面BGD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明BD⊥面PAC．有BD⊥PA，又由由余弦定理得：AC=2

3

从而PA⊥AC，即可证明PA⊥面ABCD；
（2）设点O为AC、BD的交点，由AB=BC，AD=CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点，连结OG可证

GC

AC

=

2 15 5

2 3

=

5

5

=

3

15

=

OC

PC

即有△COG∽△CAP，从而由PA⊥AC得PC⊥OG，故可证．

解答： 解：（1）∵BD⊥PC，
又∵AB=BC=2，AD=CD=

7

，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．
而PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC．
∴BD⊥PA，
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos120°=12，可得：AC=2

3

，
∴PA²+AC²=3+12=15=PC²，
∴PA⊥AC，
∴PA⊥面ABCD；
（2）设点O为AC、BD的交点，由AB=BC，AD=CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点，
连结OG，∴OC=

3

，PC=

15

，AC=2

3

，
∵

PG

GC

=

3

2

，∴GC=

2 15

5

，
∴

GC

AC

=

2 15 5

2 3

=

5

5

=

3

15

=

OC

PC

，
∴△COG∽△CAP，
∵PA⊥AC，
∴PC⊥OG，
又PC⊥BD，
∴PC⊥面BGD．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，考查了转化思想，属于中档题．