Question

关于函数f（x）=a

x2+1

|x|

（a＞0，a≠1），有以下命题：
①函数图象关于轴对称；
②当a＞1时，函数在（1，+∞）上为增函数；
③当0＜a＜1时，函数有最大值，且最大值为a²；
④函数的值域为（a²，+∞）．
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用偶函数的概念与性质可判断①；
②令g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

=

x+ 1 x ，x＞0 -x- 1 x ，x＜0

，利用复合函数的单调性可判断②；
③利用y=|x|+

1

|x|

≥2（当且仅当|x|=1，即x=±1时取“=”）及复合函数的性质可判断，当0＜a＜1时，函数的最值，可判断③；
④利用②③的结论可判断④．

解答： 解：①，∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=a

(-x)2+1

|-x|

=a

x2+1

|x|

=f（x），
∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，即函数图象关于轴对称，故①正确；
②，令g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

=

x+ 1 x ，x＞0 -x- 1 x ，x＜0

，
当x＞1时，g′（x）=1-

1

x2

＞0，y=g（x）在（1，+∞）上为增函数；
当a＞1时，函数y=a^x在（1，+∞）上为增函数，由复合函数的单调性质可得，当a＞1时，函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，故②正确；
③，由于y=|x|+

1

|x|

≥2（当且仅当|x|=1，即x=±1时取“=”），
当0＜a＜1时，函数y=a^x在（0，1），（-∞，-1）单调递减；在（1，+∞），（-1，0）上单调递增，
∴0＜a＜1，x=±1时函数有最大值，且最大值为a²，故③正确；
④，当a＞1时，函数的值域为（a²，+∞）；当0＜a＜1时，函数的值域为（0，a²]，故④错误．
综上所述，正确命题的序号是①②③，
故答案为：①②③．

点评：本题考查函数的性质，着重考查函数的奇偶性、对称性、复合函数的单调性及函数的值域，考查转化思想．