Question

已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

，
①求函数f（x）的最小正周期T；
②已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2

3

，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：①首项利用向量的数量积求出三角函数的关系式，进一步利用恒等变换把函数转化成正弦型函数，最后求出最小正周期．
②利用①求出A的大小，再利用余弦定理求出b的长，最后求出三角形的面积．

解答： 解：（1）已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），
则：函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin2x+

3

sinxcosx+

3

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2
=sin（2x-

π

6

）+2
所以：函数f（x）的最小正周期为：T=

2π

2

=π
（2）由（1）得知：A∈[0，

π

2

]
所以：-

π

6

≤2A-

π

6

≤

5π

6

当2A-

π

6

=

π

2

时，f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值．
解得：A=

π

3

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2

3

，c=4，
利用余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA
12=b2+16-2×b×4×

1

2

b²-4b+4=0
解得：b=2
S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4×

3

2

=2

3

点评：本题考查的知识要点：向量的数量积，三角恒等式的变换，三角函数的最值和周期，余弦定理得应用，三角形面积的应用及相关的运算问题，属于基础题型．