Question

已知函数f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

（a∈R）
（1）作出a=

1

2

时函数f（x）的图象；
（2）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）a=

1

2

时函数f（x）=

1 2 x+2，x＜1 log 1 2 x，x≥1

，作出直线y=

1

2

x+2后取x＜1的部分；再作出对数函数y=log

1

2

x的图象，取x≥1的部分．
（2）若函数f（x）在R上单调递减，则当x≥1时函数y=log_ax递减，故0＜a＜1，同时函数y=（3a-1）x+4a递减，需满足3a-1＜0且函数值≥0．

解答： 解：（1）a=

1

2

时函数f（x）=

1 2 x+2，x＜1 log 1 2 x，x≥1

，画此分段函数如图：

（2）要使函数f（x）在R上单调递减，则当x≥1时函数y=log_ax递减，∴0＜a＜1，
同时函数y=g（x）=（3a-1）x+4a递减且g（1）≥0，即

3a-1＜0 3a-1+4a≥0

，∴

1

7

≤a＜

1

3

，
∴a的取值范围：{a|

1

7

≤a＜

1

3

}．

点评：本题考查分段函数图象的作法，涉及函数的单调性，属中档题．