Question

已知：数列b_n=

n+1

(n+2)2•4n2

，数列{b_n}前n项和T_n．求证：T_n＜

5

64

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：证明题,等差数列与等比数列

分析：b_n=

n+1

(n+2)2•4n2

=

1

16

（

1

n2

-

1

(n+2)2

），求和，即可证明结论．

解答： 证明：b_n=

n+1

(n+2)2•4n2

=

1

16

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，
∴T_n=

1

16

[1-

1

9

+

1

4

-

1

16

+

1

9

-

1

25

+

1

16

-

1

36

+…+

1

n2

-

1

(n+2)2

]
=

1

16

[1+

1

4

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]＜

5

64

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，正确裂项是关键．