Question

4．已知函数f（x）=e^x-ex-1，其中e为自然对数的底数．函数g（x）=（2-e）x．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若函数$F（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），x≤m\\ g（x），x＞m\end{array}\right.$的值域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ex-1，
h（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-1，h′（x）=e^x-2，
由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（-∞，ln2）递减；
（2）f（x）=e^x-e，
x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，1）递减，
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，
m≤1时，f（x）在（-∞，m]递减，值域是[e^m-em-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）递减，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，故e^m-em-1≤（2-e）m，
即e^m-2m-1≤0，（*），
由（1）m＜0时，h（x）=e^m-2m-1＞h（0）=0，故（*）不成立，
∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e-3＜0，
∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；
m＞1时，f（x）在（-∞，1）递减，在（1，m]递增，
故函数f（x）=e^x-ex-1在（-∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）上递减，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，∴-1≤（2-e）m，即1＜m≤$\frac{1}{e-2}$，
综上，m的范围是[0，$\frac{1}{e-2}$]；

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查不等式的证明，是一道综合题．