Question

14．设可导函数y=f（x）经过n（n∈N）次求导后所得结果为y=f^（n）（x）．如果函数g（x）=x³经过1次求导后所得结果为g^（1）（x）=3x²．经过2次求导后所得结果为g^（2）（x）=6x，…．
（1）若f（x）=ln（2x+1），求f^（2）（x）．
（2）已知f（x）=p（x）•q（x），其中p（x）•q（x）为R上的可导函数．求证：f^（n）（x）=$\sum_{i=0}^{n}$${C}_{n}^{i}$p^（n-i）（x）•q^（i）（x）．

Answer 1

分析 （1）利用对数以及分式的求导法则解答；
（2）对f（x）分别求2次，3次，4次…导数，发现规律，得到证明．

解答 解：（1）若f（x）=ln（2x+1），
则f^（1）（x）=$\frac{1}{2x+1}$•（2x+1）′=$\frac{2}{2x+1}$．
f^（2）（x）=-$\frac{2}{（2x+1）^{2}}$•（2x+1）′=-$\frac{4}{（2x+1）^{2}}$．
（2）证明：f（x）=p（x）•q（x），所以f'（x）=f（x）=p'（x）•q（x）+p（x）•q'（x），
f^（2）（x）=[p'（x）•q（x）+p（x）•q'（x）]=p^（2）q+p'q'+p'q'+pq^（2）=p^（2）q+2p'q'+pq^（2），
f^（3）=[p^（2）q+2p'q'+pq^（2）]'=p^（3）q+p^（2）q'+2p^（2）q'+2p'q^（2）+p'q^（2）+pq^（3）=p^（3）q+3p^（2）q'+3p'q^（2）+pq^（3），
…
所以f^（n）（x）=$\sum_{i=0}^{n}$${C}_{n}^{i}$p^（n-i）（x）•q^（i）（x）．

点评 本题考查了函数求导；熟练运用初等函数的求导公式以及法则是关键．