已知离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1过点P(-1.$\frac{\sqrt{2}}{2}$)．(1)求椭圆C的方程,交椭圆C于A.B两点.交直线l:x=-2于点M.设直线PA.PB.PM的斜率依次为k1.k2.k3.问k1.k3.k2是否成等差数列.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线AB：y=k（x+1）交椭圆C于A、B两点，交直线l：x=-2于点M，设直线PA、PB、PM的斜率依次为k₁、k₂、k₃，问k₁、k₃、k₂是否成等差数列，请说明理由．

分析（1）由椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）由直线方程，求得M点坐标，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式验证是否k₁+k₂=2k₃，等式成立，若成立则k₁、k₃、k₂成等差数列．否则不成等差数列．

解答解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，则b²=a²-c²=c²，
∴将P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，即$\frac{1}{2{c}^{2}}+\frac{1}{2{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
则a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=k（x+1），k显然存在且不为0，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
则x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
当x=-2时，y=-k，则M（-2，-k），
则k₁=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}+1}$，k₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+k，
由k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}）（{x}_{2}+1）+（{y}_{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+2k（{x}_{1}+{x}_{2}）-\frac{\sqrt{2}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k-\sqrt{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，
=2k+$\sqrt{2}$，
∴k₁+k₂=2k₃，
∴k₁、k₃、k₂成等差数列．

点评本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式和等差数列中项性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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（1）求椭圆C的方程．
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日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
天气	晴	霾	霾	阴	霾	霾	阴	霾	霾	霾	阴	晴	霾	霾	霾

日期	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
天气	霾	霾	霾	阴	晴	霾	霾	晴	霾	晴	霾	霾	霾	晴	霾

由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策．
下表是一个调査机构对比以上两年11月份（该年不限行30天、次年限行30天共60天）的调查结果：
表二

	不限行	限行	总计
没有雾霾	a
有雾霾	b
总计	30	30	60

（1）请由表一数据求a，b，并求在该年11月份任取一天，估计该市是晴天的概率；
（2）请用统计学原理计算若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有多少天没有雾霾？
（由于不能使用计算器，所以表中数据使用时四舍五入取整数）

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．