设F1.F2分别为椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a} {1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b} {1}^{2}}$=1(a1＞b1＞0)与双曲线C2:$\frac{{x}^{2}}{{a} {2}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b} {2}^{2}}$=1(a2＞b2＞0)的公共焦点.它们在第一象限内交于点M.∠F1MF2=90°.若椭� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

9．设F₁、F₂分别为椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F₁MF₂=90°，若椭圆的离心率e₁∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]，则双曲线C₂的离心率e₂的取值范围为$[\frac{2\sqrt{14}}{7}，\frac{3\sqrt{2}}{2}]$．

分析利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．

解答解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF₁|+|MF₂|=2a₁，|MF₁|-|MF₂|=2a₂，
所以|MF₁|=a₁+a₂，|MF₂|=a₁-a₂．
因为∠F₁MF₂=90°，
所以|MF₁|²+|MF₂|²=4c²，即a₁²+a₂²=2c²，即（$\frac{1}{{e}_{1}}$）²+（$\frac{1}{{e}_{2}}$）²=2，
椭圆的离心率e₁∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]，
所以$（\frac{1}{{e}_{1}}）^{2}$∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{16}{9}$]，则（$\frac{1}{{e}_{2}}$）²∈[$\frac{2}{9}$，$\frac{7}{8}$]．
所以e₂∈$[\frac{2\sqrt{14}}{7}，\frac{3\sqrt{2}}{2}]$．
故答案为：$[\frac{2\sqrt{14}}{7}，\frac{3\sqrt{2}}{2}]$．

点评本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

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