Question

已知函数f（X）的定义域为（0，+∞）且满足2f（x）+f（

1

x

）=2lnx+

a(2x+1)

x+1

．
（1）若a=-8，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），求证：f（x₁）+f（x₂）≥

f(x)+2

x

-2．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）通过换元令

1

x

=t求出另一个关于f（x），f(

1

x

)的等式，和原来的f（x），f(

1

x

)的等式联立即可解出f（x）=2lnx+

ax

x+1

，所以将a=-8带入即可得到f（x），求f′（x），并判断f′（x）的符号，从而判断出函数f（x）在其定义域上的单调性；
（2）x₁，x₂是f（x）定义域上的两个极值点，所以这两个极值点是f′（x）=0的两个不等实数根，f′（x）=

2x2+(4+a)x+2

x(x+1)2

，所以x1+x2=-

4+a

2

，x1x2=1，这样即可求出f（x₁）+f（x₂）=a，而a=

f(x)-2lnx

x

•(x+1)，所以原不等式便等价于

f(x)-2lnx

x

•(x+1)≥

f(x)-2(x-1)

x

，所以只要证明lnx≤x-1，令g（x）=lnx-x+1，通过求g′（x）可以得到x=1是g（x）的极大值点，且g（1）=0，所以g（x）≤0，所以这样便证明了lnx≤x-1，从而原不等式成立．

解答： 解：令

1

x

=t，x=

1

t

，则：
2f(

1

t

)+f(t)=2ln

1

t

+

a( 2 t +1)

1 t +1

=-2lnt+

a(t+2)

t+1

；
∴f(x)+2f(

1

x

)=-2lnx+

a(x+2)

x+1

   ①；
又2f（x）+f(

1

x

)=2lnx+

a(2x+1)

x+1

   ②；
∴①②联立得f（x）=2lnx+

ax

x+1

；
∴（1）a=-8时，f（x）=2lnx-

8x

x+1

，f′（x）=

2

x

-

8

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0；
∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）f′（x）=

2x2+(4+a)x+2

x(x+1)2

；
若f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），则方程2x²+（4+a）x+2=0有两个不等实根，且：
x1+x2=-

4+a

2

，x1x2=1；
∴f(x1)+f(x2)=2lnx1+

ax1

x1+1

+2lnx2+

ax2

x2+1

=a；
∵a=

f(x)-2lnx

x

•(x+1)；
∴要证明原不等式成立，只要证明

f(x)-2lnx

x

•(x+1)≥

f(x)+2

x

-2=

f(x)-2(x-1)

x

；
也就是证明对任意的x＞0，lnx≤x-1；
令g（x）=lnx-x+1，g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

；
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0；
∴g（1）=0是g（x）的最大值，∴g（x）≤0，即lnx-x+1≤0，lnx≤x-1；
∴f（x₁）+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

点评：考查换元法求函数的解析式，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及函数极值的定义，以及极值点和f′（x）=0解的关系．