Question

已知函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或

m＜0 △=m2+4m＜0

，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，则m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6＜0，x∈[1，3]恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）当m=0时，f（x）=-1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则

m＜0 △=m2+4m＜0

解得-4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（-4，0]----------------（4分）
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，
即m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6，x∈[1，3]------------------------------（6分）
当m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜

6

7

．
所以0＜m＜

6

7

当m=0时，-6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g（x）_min=g（1）=m-6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
综上所述，m＜

6

7

-----------------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．