Question

（1）设x，y∈R，向量

a

=（x，1），

b

=（1，y），

c

=（2，-4），且

a

⊥

c

，

b

∥

c

，求|

a

+

b

|和

a

+

b

与

c

的夹角；
（2）设0为△ABC的外心，已知AB=3，AC=4，非零实数x，y满足

AO

=x

AB

+y

AC

且x+2y=1，则cos∠BAC的值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量的平行和垂直线求出x，y值，然后求解即可；
（2取去AC的中点，证明0、B、D共线，在Rt△ADB中求cos∠BAC的值．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

c

；
∴2x-4=0；x=2，
又

b

∥

c

；
∴-4-2y=0；y=-2
∴

a

=(2，1)，

b

=(1，-2)，

a

+

b

=(3，-1)，|

a

+

b

|=

32+(-1)2

=

10

…（4分）
设

a

+

b

与

c

的夹角为θ，
则cosθ=

( a + b )• c

| a + b |•| c |

=

3×2+(-1)×(-4)

10 × 20

=

2

2

；
∵0≤θ≤π；
∴θ=

π

4

即

a

+

b

与

c

的夹角为

π

4

…（7分）
（2）设AC的中点为D
∵

AO

=x

AB

+y

AC

=x

AB

+2y

AD

；
又x+2y=1；O、B、D三点共线…（12分）
由O为△ABC外心知OD⊥AC，BD⊥AC在Rt△ADB中，AB=3，AD=

1

2

AC=2
∴cos∠BAC=

AD

AB

=

2

3

…（14分）

点评：本题主要考查向量的平行、垂直，夹角、模等知识点．