Question

在△ABC中，已知25cos2A+120sin²

B+C

2

=17．
（1）求cosA的值；
（2）若a=4

2

，b=5，求向量

BA

在

BC

方向上的投影．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后即可求出cosA的值；
（2）由cosA的值求出sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，进而确定出cosB的值，利用余弦定理求出c的值，即可求出向量

BA

在

BC

方向上的投影．

解答： 解：（1）由25cos2A+120sin²

B+C

2

=17，得25cos2A+60[1-cos（B+C）]=17，
整理得：25cos2A+60cosA+43=0，即25cos²A+30cosA+9=0，
整理得：（5cosA+3）²=0，
解得cosA=-

3

5

；
（2）由（1）得sinA=

4

5

，
∴由正弦定理得：sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
∵a＞b，∴B＜A，
∴cosB=

2

2

，
由余弦定理得：cosB=

32+c2-25

8 2 c

=

2

2

，
解得：c=1或c=7，
∵c＜a，∴c=1，
则

BA

在

BC

上的投影为

BA • BC

| BC |

=

cacosB

a

=cosB=

2

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．