Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC=1，E是棱PB上的点，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求三棱锥P-AEC的体积．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，取CD中点F，以AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD∥平面EAC．
（2）转换底面求三棱锥P-AEC的体积．

解答 （1）证明：以A为原点，取CD中点F，以AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意P（0，0，1），D（1，-1，0），A（0，0，0），
B（0，1，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），C（1，1，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-1），
设平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∵$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{n}$=1+1-2=0，PD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
（2）解：由题意，AC=$\sqrt{2}$，B到平面PAC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E到平面PAC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴V_P-AEC=V_E-PAC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{9}$

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥P-AEC的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．