Question

9．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，且以双曲线$\frac{y^2}{4}-{x^2}$=1的实轴为短轴，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得椭圆的c=2，由双曲线的性质可得b=2，由a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用韦达定理，由题意可得右焦点F在圆内部，即为$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}$＜0，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆的焦距为4，∴c=2，
又以双曲线$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的实轴为短轴，
∴b=2，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kx-6=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{-6}{{1+2{k^2}}}$，
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}$＜0，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0，
∴$（1+{k^2}）•\frac{-6}{{1+2{k^2}}}+（k-2）•\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}+5=\frac{8k-1}{{1+2{k^2}}}$＜0，
∴k＜$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆和双曲线的性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．