Question

已知椭圆

x2

p2

+

y2

3

=1的左焦点在抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线上，F为抛物线的焦点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点F交抛物线于不同的两点A、B，交y轴于点M，且

MA

=a

AF

，

MB

=b

BF

，则对任意的直线l，a+b是否为定值？若是，求出a+b的值；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆

x2

p2

+

y2

3

=1的左焦点为（-

p2-3

，0），抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线x=-

p

2

，建立方程，可求p的值，从而可得抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线联立，消元利用韦达定理，结

MA

=a

AF

，

MB

=b

BF

，可得a，b，由此可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆

x2

p2

+

y2

3

=1的左焦点为（-

p2-3

，0），抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线x=-

p

2

，
∴-

p2-3

=-

p

2

，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），
设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l代入抛物线方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1
∵

MA

=a

AF

，∴（x₁，y₁+k）=（1-x₁，-y₁），∴a=

x1

1-x1

，
同理b=

x2

1-x2

，
∴a+b=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=-1，
∴对任意的直线l，a+b为定值-1．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用韦达定理是关键．