Question

2．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F是平面ABCD同一侧的两点，AE∥FC，AE⊥AB，AE=1，DE=$\sqrt{2}$，FC=$\frac{1}{2}$．
（1）证明：CD⊥平面ADE；
（2）求三棱锥E-BDF的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明直线与平面两条相交直线垂直，然后证明直线与平面垂直．
（2）利用三棱锥的体积转化为几何体的体积减去两个三棱锥的体积即可．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD的边长为1，∴CD∥AB，AB⊥AD，
∵AE⊥AB，AE∩AD=A，
∴AB⊥平面ADE，
∴CD⊥平面ADE．
（2）解：AE∥FC，AE⊥AB，AE=1，DE=$\sqrt{2}$，可知：AE⊥底面ABCD，AC=$\sqrt{2}$，
FC=$\frac{1}{2}$．三棱锥E-BDF的体积：V_EF-ABCD-V_E-ABD-V_F-BCD=$\frac{1}{3}×（\frac{AE+CF}{2}）×AC×BD$$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AD×AB×AE$$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BC×DC×CF$
=$\frac{1}{3}×\frac{1+\frac{1}{2}}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．