Question

1．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x³-6x²-3a（a-4）x+b，g（x）=e^xf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e^x的图象在公共点（x₀，y₀）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x₀处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤e^x在区间[x₀-1，x₀+1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知$\left\{\begin{array}{l}g（{x_0}）={e^{x_0}}\\ g'（{x_0}）={e^{x_0}}\end{array}\right.$，求解可得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）=1\\ f'（{x_0}）=0\end{array}\right.$．得到f（x）在x=x₀处的导数等于0；
（ii）由（I）知x₀=a．且f（x）在（a-1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x₀=a时，f（x）≤f（a）=1在[a-1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e^x在[x₀-1，x₀+1]上恒成立．由f（a）=a³-6a²-3a（a-4）a+b=1，得b=2a³-6a²+1，-1≤a≤1．构造函数t（x）=2x³-6x²+1，x∈[-1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=x³-6x²-3a（a-4）x+b，可得f'（x）=3x²-12x-3a（a-4）=3（x-a）（x-（4-a）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4-a．由|a|≤1，得a＜4-a．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，a）	（a，4-a）	（4-a，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

∴f（x）的单调递增区间为（-∞，a），（4-a，+∞），单调递减区间为（a，4-a）；
（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e^x（f（x）+f'（x）），由题意知$\left\{\begin{array}{l}g（{x_0}）={e^{x_0}}\\ g'（{x_0}）={e^{x_0}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）{e^{x_0}}={e^{x_0}}\\{e^{x_0}}（f（{x_0}）+f'（{x_0}））={e^{x_0}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）=1\\ f'（{x_0}）=0\end{array}\right.$．
∴f（x）在x=x₀处的导数等于0；
（ii）解：∵g（x）≤e^x，x∈[x₀-1，x₀+1]，由e^x＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x₀）=1，f'（x₀）=0，
故x₀为f（x）的极大值点，由（I）知x₀=a．
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4-a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a-1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，
故当x₀=a时，f（x）≤f（a）=1在[a-1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e^x在[x₀-1，x₀+1]上恒成立．
由f（a）=a³-6a²-3a（a-4）a+b=1，得b=2a³-6a²+1，-1≤a≤1．
令t（x）=2x³-6x²+1，x∈[-1，1]，
∴t'（x）=6x²-12x，
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（-1）=-7，t（1）=-3，t（0）=1，故t（x）的值域为[-7，1]．
∴b的取值范围是[-7，1]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．