Question

12．在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=$2\sqrt{2}$a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G为PE的中点．
（1）求AG与平面PDE所成角的大小
（2）求点C到平面PDE的距离．

Answer 1

分析 （1）通过证明PA垂直平面ABCDE上的两条相交直线即可，在三角形PAB中运用勾股定理，可证明PA垂直于AB，在三角形PAE中，同样用勾股定理，可证明PA垂直AE，这样就可证明PA⊥平面ABCDE．通过证明AG垂直于平面PDE中的两条相交直线，在三角形中PA=AE=2a，可知AG垂直PE，再通过ED⊥平面PAE，利用线面垂直的性质，可得AG垂直于DE，则AG⊥平面PDE可证．
（2）欲求点C到平面PDE的距离，只需过C点向平面PDE作垂线，但是垂足位置不容易找到，所以可以转化为其它点到平面的距离．证明CF∥DE，则点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离，就可求F到平面PDE的距离．再由（3）中结论知FG⊥平面PDE，所以FG的长即F点到平面PDE的距离，放入△PAE中求出即可．

解答 解：（1）解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2$\sqrt{2}$a，∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．
又∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG．
∵PA=AE，G为PE中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE；
∴AG与平面PDE所成角的大小为90^°；
（2）解：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，
取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC，∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，
∴CF∥DE，而DE?平面PDE，CF?平面PDE，∴CF∥平面PDE．
∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，
∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则 FG⊥平面PDE．
∴FG的长即F点到平面PDE的距离．
在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．∴点C到平面PDE的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

点评 本题主要考查了在几何体中，线面垂直的证明，二面角，以及点到平面的距离求法，考查了学生的空间想象力，识图能力，逻辑推理能力，以及计算能力．