Question

12．已知椭圆C经过点（-1，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）和（2，$\frac{\sqrt{5}}{3}$），求
（1）椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将两点坐标代入椭圆的标准方程解方程组得出a，b；
（2）设两条直线方程分别为y=kx+1，y=-$\frac{1}{k}$x+1，分别与椭圆方程联立解出P，Q坐标得出直线PQ的方程，即可得出定点坐标．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0且a≠b）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{8}{9{b}^{2}}=1}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{5}{9{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=9，b²=1．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$．
（2）椭圆的上顶点为B（0，1），
由题意可知直线BP的斜率存在且不为0．
设直线BP的方程为y=kx+1，则直线BQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+9k²）x²+18kx=0，
∴P（-$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$，$\frac{1-9{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$），
同理可得Q（$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$，$\frac{{k}^{2}-9}{9+{k}^{2}}$）．
∴直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$，
∴PQ的直线方程为y-$\frac{{k}^{2}-9}{{k}^{2}+9}$=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$（x-$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$），即y=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$x-$\frac{4}{5}$．
∴直线PQ过定点（0，-$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．