Question

3．已知函数f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$（a∈R），g（x）=$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），通过讨论F（x）的单调性求出F（x）的最大值，结合题意求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-（lnx+a）}{x2}$．
令f′（x）=0，得x=e^1-a，
当x∈（0，e^1-a）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；…（2分）
当x∈（e^1-a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e^1-a]，
单调递减区间为[e^1-a，+∞），…（3分）
极大值为f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1，无极小值．…（4分）
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{lnx+a-1}{x}$，
则F′（x）=$\frac{-lnx+2-a}{x2}$．
令F′（x）=0，得x=e^2-a；令F′（x）＞0，得x＜e^2-a；
令F′（x）＜0，得x＞e^2-a，
故函数F（x）在区间（0，e^2-a]上是增函数，
在区间[e^2-a，+∞）上是减函数．…（6分）
①当e^2-a＜e²，即a＞0时，
函数F（x）在区间（0，e^2-a]上是增函数，
在区间[e^2-a，e²]上是减函数，F（x）_max=F（e^2-a）=e^a-2．
又F（e^1-a）=0，F（e²）=$\frac{a+1}{e2}$＞0，
由图象，易知当0＜x＜e^1-a时，F（x）＜0；
当e^1-a＜x≤e²，F（x）＞0，…（8分）
此时函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e²]上有1个公共点．
②当e^2-a≥e²，即a≤0时，F（x）在区间（0，e²]上是增函数，
F（x）_max=F（e²）=$\frac{a+1}{e2}$．
若F（x）_max=F（e²）=$\frac{a+1}{e2}$≥0，即-1≤a≤0时，…（10分）
函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e²]上只有1个公共点；
若F（x）_max=F（e²）=$\frac{a+1}{e2}$＜0，即a＜-1时，
函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e²]上没有公共点．
综上，满足条件的实数a的取值范围是[-1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，函数的交点问题以及分类讨论思想，是一道综合题．