Question

20．已知函数f（x）=-aln（x+1）+$\frac{a+1}{x+1}$-a-1（a∈R）
（1）当a=-$\frac{1}{3}$时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知函数g（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，若对任意x∈（0，1]都有g（x）＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a＜$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{ln（1+x）}$在x∈（0，1]恒成立，令q（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{ln（1+x）}$，x∈（0，1]，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{3}$时，
f（x）=$\frac{1}{3}$ln（x+1）+$\frac{2}{3（x+1）}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$[2ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1]，（x＞-1），
令p（x）=2ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，（x＞-1），
p′（x）=$\frac{2x+1}{{（x+1）}^{2}}$，
令p′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{2}$，令p′（x）＜0，解得：-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
∴p（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）递减，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
即f（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）递减，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）递增；
（2）函数g（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，
若对任意x∈（0，1]都有g（x）＞0成立，
即a＜$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{ln（1+x）}$在x∈（0，1]恒成立，
令q（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{ln（1+x）}$，x∈（0，1]，
q′（x）=$\frac{（x+1{）[ln（x+1）]}^{2}{+x}^{2}}{{x}^{2}（x+1{）[ln（x+1）]}^{2}}$，
令m（x）=（x+1）[ln（x+1）]²+x²，x∈（0，1]，
m′（x）=ln（x+1）[ln（x+1）+2]+2x，x∈（0，1]，
∴m′（x）＞0，
∴m（x）在（0，1]递增，m（x）_max=m（1）=-1+$\frac{1}{{2（ln2）}^{2}}$＜0，
∴q′（x）＜0在（0，1]恒成立，
∴q（x）在（0，1]递减，
∴q（x）_min=q（1）=1-$\frac{1}{ln2}$，
∴a＜1-$\frac{1}{ln2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．