Question

设向量

.

a

=（cosα，sinα），

.

b

=（sinβ，cosβ）且α+β=

π

6

，若向量

c

满足|

.

c

-

.

a

-

.

b

|=2，则

| a |

| c |

最小值等于（　　）

• A、2-

  3

• B、3-

  2

• C、

  2

  -1
• D、3+

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得＜

a

，

b

＞=

π

3

，可得

c

的终点在以向量(

a

+

b

)的终点为圆心，半径为2的圆周上，可得结论．

解答：解：∵

.

a

=（cosα，sinα），

.

b

=（sinβ，cosβ），
∴

a

•

b

=cosαsinβ+sinαcosβ=sin（α+β）=sin

π

6

=

1

2

，
∴|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，同理|

b

|=1
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1

2

，∴＜

a

，

b

＞=

π

3

，
∴|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+ b 2+2 a • b

=|

a

+

b

|=

3

，
又|

c

-

a

-

b

|=|

c

-(

a

+

b

)|=2，
可知

c

的终点在以向量(

a

+

b

)的终点为圆心，半径为2的圆周上，
故可得2-

3

≤|

c

|≤2+

3

，
∴(

| a |

| c |

)min=

1

2+ 3

=2-

3

．
故选：A

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及模长公式和向量减法的几何意义，属中档题．