Question

已知两圆C₁：x²+y²-6y=0，C₂：（x-2

3

）²+（y-1）²=1．
（1）求证：两圆外切且x轴是它们的一条公切线；
（2）求切点的两弧与x轴所围成图形的面积．

Answer 1

考点：两圆的公切线条数及方程的确定,圆的切线方程

专题：计算题,作图题,证明题,直线与圆

分析：（1）由题意确定两个圆的圆心与半径，从而求圆心距与圆心到x轴的距离，确定位置关系；
（2）作出图辅助，求两个扇形的角，再求面积．

解答：解：（1）证明：x²+y²-6y=0可化为x²+（y-3）²=9，
则两圆的圆心与半径分别为（0，3），3；（2

3

，1），1；
则两圆心的距离为d=

(2 3 )2+(3-1)2

=4，而半径和为3+1=4，
故两圆外切，
又∵（0，3）到x轴的距离为半径3，（2

3

，1）到x轴的距离为半径1；
∴x轴是它们的一条公切线．
（2）如右图：
∵两圆心连线的斜率为k=

1-3

2 3

=-

3

3

，
故两圆心连线的倾斜角为

5π

6

，
则两个扇形的面积之和为

1

2

•3²•

π

3

+

1

2

•1²•

2π

3

=

11π

6

，
梯形的面积为

1

2

（1+3）×2

3

=4

3

，
则切点的两弧与x轴所围成图形的面积为4

3

-

11π

6

．

点评：本题考查了圆与直线的位置关系，同时考查了学生的作图能力，属于基础题．