已知数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1.且6Sn=(an+1)(an+2).n∈N*．(1)求an与an+1的关系式,(2)在满足条件的所有数列{an}中.求a2015最小值,(3)若数列{an}各项都为正数.设数列{bn}满足an(2bn-1)=3.并记Tn为{bn}的前n项和.问:是否存在常数c使得对任意的正整数n.都有Tn≥c成立?如果存在.请写出c的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求a_n与a_n+1的关系式；
（2）在满足条件的所有数列{a_n}中，求a₂₀₁₅最小值；
（3）若数列{a_n}各项都为正数，设数列{b_n}满足a_n（2^b_n-1）=3，并记T_n为{b_n}的前n项和，问：是否存在常数c使得对任意的正整数n，都有T_n≥c成立？如果存在，请写出c的取值范围；如果不存在，请说明理由．

考点：数列的求和,数列的函数特性,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据赋值和递推关系式求出递推关系．
（2）采用分析法求出数列的关系式，进一步求出结果．
（3）利用上步结论求出参数的取值范围．

解答： 解：（1）n=1时，a₁=2或1（因为S₁＞1所以舍1），
n≥2时，6Sn=(an+1)(an+2)=an2+3an+2，
6Sn-1=an-12+3an-1+2，
两式相减得，6an=an2-an-12+3an-3an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
所以a_n+1=-a_n或a_n+1-a_n=3
（2）由题可知，求a₂₀₁₅的最小值只需求a₂₀₁₄最大值，且a₂₀₁₅=-a₂₀₁₄（a₂₀₁₄＞0）；
因为当n≤2013时，若存在n∈N^*，使得a_n+a_n+1=0，则相邻两项异号，不符合题意．
因此当n≤2013时，只能满足a_n+1-a_n=3，a₂₀₁₄才能取到最大值，
所以a₂₀₁₄=a₁+2013×3=6041最大，
因此只需a₂₀₁₅=-a₂₀₁₄=-6041即为最小．
（3）因为a_n＞0，a_n+1=-a_n不成立，
所以a_n+1-a_n=3，即a_n=3n-1
满足(3n-1)(2bn-1)=3，
得bn=log2

3n+2

3n-1

，Tn=b1+b2+…+bn=log2

•

•…•

3n+2

3n-1

=log2

3n+2

，
∵{T_n}单调递增，
∴n=1时T_n最小值为log2

，因此存在常数c使T_n≥c恒成立，
这时c的取值范围是（-∞，log₂5-1]．

点评：本题考查的知识要点：递推关系式的应用，恒成立问题的应用，关系式的恒等变换．属于中等题型．